Dvojitý integrál. Úlohy. vlastnosti

Problémy, ktoré vedú k pojmu "dvojitý integrál".

1. Predpokladajme, že rovinný materiáldoska v každom bode, ktorej hustota je známa. Musíme nájsť hmotnosť tohto taniera. Keďže táto doska má jasné rozmery, môže byť umiestnená v obdĺžniku. Hustota platne sa môže tiež chápať takto: V tých bodoch obdĺžnika, ktoré nepatria do dosky, predpokladáme, že hustota je nula. Definujeme jednotné rozdelenie na rovnaký počet častíc. Takto daný tvar bude rozdelený na základné obdĺžniky. Zvážte jeden z týchto obdĺžnikov. Vyberieme akýkoľvek bod tohto obdĺžnika. Vzhľadom na malú veľkosť takéhoto obdĺžnika budeme predpokladať, že hustota v každom bode daného obdĺžnika je konštantná. Potom bude hmotnosť takejto obdĺžnikovej častice definovaná ako násobenie hustoty v tomto bode plochou obdĺžnika. Táto oblasť, ako viete, je násobenie dĺžky obdĺžnika šírkou. A na rovine súradníc - táto zmena s určitým krokom. Potom hmotnosť celej dosky bude súčtom hmotností takýchto obdĺžnikov. Ak ideme na hranicu v takomto vzťahu, potom môžeme získať presný vzťah.
2. Definujeme priestorové telo, ktoré je ohraničenépôvod súradníc a niektoré funkcie. Je potrebné nájsť objem špecifikovaného tela. Rovnako ako v predchádzajúcom prípade rozdeľujeme oblasť na obdĺžniky. Predpokladáme, že na bodoch, ktoré nepatria do domény, bude funkcia 0. Zvážte jednu z pravouhlých oddielov. Prostredníctvom bokov tohto obdĺžnika nakreslíme roviny kolmé na osi osi a osi. Získame rovnobežnosť, ktorá je od seba ohraničená rovinou vzhľadom na os aplikátora a zhora funkciou, ktorá bola špecifikovaná v stave problému. Zvoľíme bod v strede obdĺžnika. Vzhľadom na malú veľkosť tohto obdĺžnika môžeme predpokladať, že funkcia v tomto obdĺžniku má konštantnú hodnotu a potom môžete vypočítať objem obdĺžnika. A objem čísla sa bude rovnať súčtom všetkých objemov takýchto obdĺžnikov. Ak chcete získať presnú hodnotu, musíte prejsť na hranicu.

Ako je zrejmé z problémov, ktoré sa kladú, v každom príklade dospejeme k záveru, že rôzne problémy vedú k úvahe o dvojitých sumách toho istého typu.

Vlastnosti dvojitého integrálu.

Urobme problém. Predpokladajme, že v určitom uzavretom regióne je daná funkcia dvoch premenných, pre ktoré daná funkcia je kontinuálna. Keďže oblasť je obmedzená, môžete ju umiestniť do akéhokoľvek obdĺžnika, ktorý úplne obsahuje vlastnosti bodu daného priestoru. Rozdeľujeme obdĺžnik na rovnaké časti. Nazývame priemer rozbitia najväčšej uhlopriečky z výsledných obdĺžnikov. Teraz vyberieme bod v hraniciach jedného takého obdĺžnika. Ak v tejto chvíli nájdeme hodnotu na doplnenie sumy, takáto suma sa bude nazývať integrálnou pre funkciu v danej doméne. Nájdeme hranicu takej integrálnej sumy za podmienok, že priemer rozpadu nasleduje na 0 a počet obdĺžnikov do nekonečna. Ak existuje takáto hranica a nezávisí od toho, ako je oblasť rozdelená na obdĺžniky a výber bodu, tak sa nazýva dvojitý integrál.

Geometrický obsah dvojitého integrálu: dvojitý integrál je číselne rovný objemu tela, ktorý bol opísaný v probléme 2.

Keď poznáte dvojitý integrál (definícia), môžete nastaviť nasledujúce vlastnosti:

1. Konštantu možno odobrať mimo integrálnu značku.
2. Integrál sumy (rozdielu) sa rovná súčtu (rozdielu) integrálov.
3. Z týchto funkcií je menšie množstvo, ktorého dvojitý integrál je menší.
4. Modul je možné zaviesť pod označením dvojitého integrálu.